시뮬레이션 > 효소 반응 속도 (미카엘리스-멘텐) > 식 유도 과정
미카엘리스－멘텐 식은 어디서 나왔을까
앞의 시뮬레이션에서 쓴 v = Vmax[S] / (Km + [S])는 그냥 외워야 하는 공식이 아니라, 효소-기질 결합 반응 하나를 정직하게 풀어낸 결과입니다. 먼저 그 결합 반응이 실제로 어떻게 진행되는지 시뮬레이션으로 보고, 그 관찰 결과를 근거로 수식을 한 단계씩 유도해 보겠습니다.
1부. 반응이 실제로 어떻게 흘러가는지 보기
E + S ⇌ ES → E + P 반응을 속도 상수 k₁, k₋₁, k₂로 직접 적분한 그래프입니다. 슬라이더를 움직여서 [ES](주황색)가 처음엔 빠르게 치솟았다가 한동안 거의 일정하게 유지되는 구간이 생기는 걸 확인해 보세요. 바로 이 구간이 다음 절에서 쓰는 "정상상태 근사"의 근거입니다.
반응 속도 상수
단위는 실제 화학종이 아니라 임의 단위(농도·시간)입니다 — 곡선의 모양과 정상상태 구간이 나타나는 원리에 집중하세요.
시간에 따른 농도 변화
음영 처리된 구간에서는 [ES]가 정점의 90% 이상을 유지합니다 — 이 구간에서 d[ES]/dt ≈ 0으로 놓는 정상상태 근사가 성립합니다.
2부. 수식으로 유도하기
방금 본 그래프의 평평한 구간을 수학적으로 "d[ES]/dt ≈ 0"이라고 표현하는 것부터 시작해서, 여덟 단계를 거치면 Vmax[S]/(Km+[S]) 식이 나옵니다. 화살표를 눌러 한 단계씩 넘겨보세요.
1. 반응 도식 세우기
효소(E)와 기질(S)이 만나 효소-기질 복합체(ES)를 이룹니다. 이 복합체는 다시 원래대로 갈라질 수도 있고 (해리 속도 상수 k₋₁), 반응이 일어나 생성물(P)을 내놓고 효소가 원래 상태로 돌아올 수도 있습니다 (촉매 속도 상수 k₂, 종종 kcat이라고도 씁니다).
k₁은 E와 S가 만나 ES가 되는 결합 속도 상수입니다. 화살표가 세 방향으로 나 있다는 게 핵심입니다 — ES는 두 갈래 중 하나로 없어질 수 있고, 그중 하나(k₂)만 실제로 생성물을 만듭니다.
3부. 극한 상황에서 확인하기
유도한 식이 맞는지는 극단적인 경우를 넣어보면 바로 검증됩니다.
[S] ≪ Km 일 때 (기질이 아주 적을 때)
분모의 Km이 [S]보다 압도적으로 커서 [S]를 무시할 수 있으니, v ≈ (Vmax/Km)[S]가 됩니다. 반응 속도가 기질 농도에 비례하는 1차 반응 — 메인 시뮬레이션 그래프의 왼쪽 구간(원점에서 거의 직선으로 올라가는 부분)이 바로 이 경우입니다.
[S] ≫ Km 일 때 (기질이 아주 많을 때)
이번엔 분모에서 Km을 무시할 수 있어서 v ≈ Vmax[S]/[S] = Vmax. 기질을 아무리 늘려도 속도가 더는 안 오르는 0차 반응 — 그래프가 오른쪽에서 평평해지는 포화 구간이 이 경우입니다.
[S] = Km 일 때
식에 그대로 대입하면 v = Vmax·Km/(Km+Km) = Vmax/2. Km을 "반응 속도가 최대 속도의 절반이 되는 기질 농도"로 정의해서 그래프에서 바로 읽어낼 수 있었던 이유가 바로 이 계산입니다.